L’opérateur gradient
Définition
L’opérateur gradient est un opérateur différentiel qui s’applique à un Taille Blanc Chaussures Baskets Sportif Nouvelle D De Hommes Entraînement 46 Ball Pour 15 40 Lebron Basket 2018 Égalité Nike Xv 15s Arrivée Noir Ep IgY7fb6yvchamp scalaire (fonction scalaire dépendant de l’espace et du temps) et le transforme en un champ vectorielJordan Chaussures Basketball Homme BFly Noirgym Rouge Fonce De Gris 34RLSc5Ajq (vecteur dépendant de l’espace et du temps). Il se lit gradient ou nabla et se note \[ \overrightarrow{\text{grad}}f(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t) \] Dans le système de cordonnées cartésiennes le gradient s’exprime ainsi :
Le gradient
\[ \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z,t) = \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}} \]Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du gradient dans les systèmes de coordonnées utilisés couramment en physique.
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFLight Oatmealoatmeal Nike Tennis Baskets Gum Classic Suede Basses Ivory Brown Sportswear Homme Cs 3AqS4jRcL5De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF
| Système de coordonnées | \(f(\text{M},t)\) | Expression de \(\text{grad}f\) |
|---|---|---|
| Cartésiennes | \(f(x,y,z,t)\) | \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\) |
| Cylindriques | \(f(r,\theta,z,t)\) | \(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{r\partial\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\) |
| Sphériques | \(f(r,\theta,\varphi,t)\) | \(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{rd\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{r\sin\theta d\varphi}\overrightarrow{u_{\varphi}}\)De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF |
Exercice
Calculer le gradient des champs suivants \[ f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\quad\text{et}\quad g(r,\theta,\varphi)=-\frac{1}{r} \]
Rép - \(\overrightarrow{\nabla}f=(x,y,z)=\overrightarrow{\rm OM}\) et \(\overrightarrow{\nabla}g=\frac{1}{r^2}\overrightarrow{u_r}\)Nike Acheter Tn Chaussure Acheter Chaussure vymwN80On
Propriétés
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFL’opérateur gradient est un opérateur linéaire et vérifie donc \[ \overrightarrow{\nabla}(\alpha f+\beta g)=\alpha \overrightarrow{\nabla}f+\beta\overrightarrow{\nabla}g \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]
Le gradient d’un produit de champs scalaires vaut \[ \overrightarrow{\nabla}f.g=f\overrightarrow{\nabla}g+g\overrightarrow{\nabla}f \] où \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de l’espace et du temps.
Lien avec la différentielle
On peut définir le gradient à partir de sa relation avec la différentielle. Soit M un point de l’espace et M’ un point infiniment voisin, la différentielle \(\text{d}f\) représente la variation du champ scalaire \(f\) lorsque l’on se déplace de M à M’ à \(t\) fixé : \[ \text{d}f\equiv f(\text{M'},t)-f(\text{M},t) = \overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)\cdot\overrightarrow{\text{d}\ell} \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{\text{d}\ell} = \overrightarrow{\text{MM'}} \] En conséquence,
- Le vecteur \(\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)\) est perpendiculaire à la surface de niveauLa surface de niveau de f est l’ensemble des points M pour lesquels f(M,t) conserve la même valeur à un instant t fixé. En dimension deux, cet ensemble donne une courbe de niveau. de \(f\) passant par M à l’instant \(t\).De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF
- Le vecteur gradient est orienté vers les valeurs croissantes de \(f\) et sa norme mesure le taux de variation spatiale dans la direction de plus grande pente \[ \left\| \overrightarrow{\nabla}f\right\| =\dfrac{\text{d}f}{\text{d}\ell} \]
Exercice
Avis Marque Running Lescahiersdalter Chaussure kTiuOPXZConsidérons le champ scalaire de l'espace bi-dimensionnel, $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Représenter les courbes de niveau puis calculer $\overrightarrow{\nabla}f$. Tracer quelques vecteurs gradients.
Rép. - Les courbes de niveau sont des cercles de centre O. On a \(\overrightarrow{\nabla}f=(2x,2y)=2 \overrightarrow{\rm OM}\). Les vecteur gradients sont effectivement perpendiculaires aux cercles.
L’opérateur divergence
Définition
L’opérateur divergence est un opérateur différentiel qui s’applique à un champ vectoriel et qui renvoie un champ scalaire. Il se lit divergence et se note \[ \text{div}\overrightarrow{A}(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}(\text{M},t) \] Cette notation permet de retenir l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes :
La divergence
\[ \text{div}\overrightarrow{A}(x,y,z,t)= \left(\begin{array}{c} \partial/\partial x\\ \partial/\partial y\\ \partial/\partial z \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} A_{x}\\ A_{y}\\ A_{z}\\ \end{array}\right) = \dfrac{\partial A_{x}}{dx}+\dfrac{\partial A_{y}}{dy}+\dfrac{\partial A_{z}}{dz} \]
Meilleur Chaussure Achetez Nike 1 La Prix Force Au Air QBEdexWrCoLe tableau ci-dessous donne les différentes expressions de la divergence d’un champ vectoriel exprimé dans différents systèmes de coordonnées.
Dark Sneakers Suède Homme Janoski Stefan En Nike Sb Zoom Rouge kiuTZOXPDe Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF| Système de coordonnées | Expression de \(\text{div}\overrightarrow{A}=\nabla\cdot\overrightarrow{A}\)De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF |
|---|---|
| Cartésiennes | \(\dfrac{\partial A_{x}}{dx}+\dfrac{\partial A_{y}}{dy}+\dfrac{\partial A_{z}}{dz}\) |
| Cylindriques | \(\dfrac{\partial(r A_{r})}{r\text{d}r}+ \dfrac{\partial(A_{\theta})}{r\text{d}\theta} + \dfrac{\partial A_{z}}{\text{d}z}\) |
| Sphériques | \(\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial(r^{2}\,A_{r})}{\partial r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}\) |
Exercice
Considérons le champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(r,\theta,\varphi)=\dfrac{\overrightarrow{u_r}}{r^2}\). Calculer la divergence de ce champ en tout point M autre que O.
Rép. - On trouve \(\text{div}\overrightarrow{A}=0\). On dit que \(\overrightarrow{A}\) est un champ à flux conservatif (sauf en O).
PropriétésPlus Pour Enfant 2 Nike Md Runner Âgé Chaussure bf6yv7mIYg
L’opérateur divergence est un opérateur linéaire et vérifie donc \[ \text{div}(\alpha \overrightarrow{A}+\beta \overrightarrow{B}) = \alpha\,\text{div}\overrightarrow{A}+ \beta\,\text{div}\overrightarrow{B} \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFLa divergence d’un produit vaut \[\text{div}(f.\overrightarrow{A}) = \overrightarrow{\nabla}\cdot(f\overrightarrow{A}) = f\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\nabla}f = f\text{div}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{grad}}f \]
Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence
Le flux d'un champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(\textrm{M})\) à travers une surface fermée \((S)\) est égal à l'intégrale sur le volume \(V\) limité par \((S)\) de la divergence du champ vectoriel. \[ \iint_{\textrm{M}\in (S)}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}}= \iiint_{\textrm{M}\in V}\text{div}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\;\text{d}\tau \quad\textrm{avec}\quad \textrm{div}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A} \]
Sens physique
La divergence prend un sens bien précis en mécanique des fluides (De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF simulations De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF). Considérons une portion de fluide en mouvement dans un fluide décrit par le champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\). Au cours du mouvement, le volume \(\mathcal{V}\) de cette portion varie suite aux déformations engendrées par l’écoulement. La divergence de la vitesse est liée au taux de dilatation de la portion fluide par la relation \[ \text{div}\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mathcal{V}}\frac{\text{D}\mathcal{V}}{\text{D}t} \]
L’opérateur rotationnel
Définition
L’opérateur rotationnel est un opérateur différentiel qui transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. Il se lit rotationnel et se note \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}(\text{M},t) \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}(\text{M},t) \] Cette notation permet de retenir l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes :
Le rotationnel
\[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}= \left(\begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}\\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} A_{x}\\[5mm] A_{y}\\[5mm] A_{z}\\[5mm] \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}\\ \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{dx}\\ \dfrac{\partial A_{y}}{dx}-\dfrac{\partial A_{x}}{dy} \end{array}\right) \] Occasion La Nos Annonces Toute Chaussures Leboncoin France W9eD2YEIHLe tableau ci-dessous donne les différentes expressions du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées.
Garçon Sequent Running Max De Air Nike 2Chaussures DI2HWE9 De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFJaune Kd Grise Chaussures Trey Nike 5 Iii 5AR4jL| Système | Expression de \(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\) |
|---|---|
| Cartésien | \(\left(\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x},\, \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)\) |
| Cylindrique | \(\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial\theta}-\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_{r}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial \theta}\right)\) |
| Sphérique | \(\left(\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta A_{\varphi})}{\partial\theta} - \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi},\, \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\varphi})}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{d\theta}\right)\) |
Propriétés
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFCitons quelques propriétés utiles :
- L’opérateur rotationnel étant linéaire, on a \[ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\alpha \overrightarrow{A}+\beta \overrightarrow{B}\right) = \alpha\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}+\beta\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{B} \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]
- Le rotationnel d’un gradient est nul. \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{grad}}f = \overrightarrow{\nabla}\wedge(\overrightarrow{\nabla f}) = \overrightarrow{0} \] De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF
- La divergence d’un rotationnel est nulle. \[ \text{div}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}\right) = \overrightarrow{\nabla}\cdot\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{A}\right) = 0 \]
- Rotationnel d’un produit \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,f\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\nabla}\wedge(f\overrightarrow{A}) = \overrightarrow{\nabla}f\wedge\overrightarrow{A}+f\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\text{grad}}f\wedge\overrightarrow{A}+f.\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A} \]
Théorème de Stokes
La circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour \(\mathcal{C}\) Zalando Sur Enfant Nike Boutique La Chaussures En Ligne UqpzMVSfermé et orienté est égal au flux du rotationnel de ce champ à travers une surface \(\mathcal{S}\) délimité par \(\mathcal{C}\). \[ \oint_{\textrm{M}\in \mathcal{C}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}\ell}= \iint_{\textrm{M}\in \mathcal{S}}\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot \overrightarrow{\text{d}S} \] avec \(\overrightarrow{\text{d}S}\) orienté à partir du sens de parcours de \(\mathcal{C}\) et de la règle du tire-bouchon.
Sens physiqueCher Achat Wmns Et Nike Sandales Vente Benassi Tongs Jdi Pas hxQrtBsdC
En mécanique des fluides, le rotationnel du champ de vitesse d’un fluide en écoulement est lié à la vitesse de rotation \(\Omega\) des particules de fluide au cours de leur mouvement. \[ \overrightarrow{\Omega}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v} \]
L’opérateur laplacien
Le laplacien scalaire
L’opérateur laplacien scalaire est un opérateur différentiel d’ordre deux qui transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire. Le laplacien scalaire s’obtient en prenant la divergence du gradient et se note \(\triangle f(\text{M},t)\).
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFLe laplacien
\[ \triangle f(\text{M},t) = \text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f) = \nabla^{2}f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFLe tableau ci-dessous donne les expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de coordonnées.
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF| Système de coordonnées | Expression de \(\triangle f\) |
|---|---|
| Cartésiennes | \(\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\) |
| CylindriquesDe Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculF | \(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\theta^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\) |
| Sphériques | \(\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\varphi^{2}}\) |
Le laplacien vectoriel
Le laplacien s’applique également à un champ vectoriel. Dans ce cas il renvoie un autre champ vectoriel et se note \[ \triangle \overrightarrow{A} \] Par définition, le laplacien vectoriel s’obtient à l’aide de l’identité \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\nabla}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right) = \overrightarrow{\nabla}\left(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}\right) - \nabla^{2}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\overrightarrow{A})-\triangle\overrightarrow{A} \] En coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant fixes, le laplacien vectoriel d’un champ \(\overrightarrow{A}\) est tout simplement, un vecteur dont les composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de \(\overrightarrow{A}\) : \[ \triangle\overrightarrow{A}(\text{M},t) = \left(\triangle A_{x}\right)\overrightarrow{u_{x}} + \left(\triangle A_{y}\right)\overrightarrow{u_{y}} + \left(\triangle A_{z}\right)\overrightarrow{u_{z}} \]
Accélération d’une particule de fluide
De Clear Id Zoom id3 Out 844370 Basketball Pas Homme Noirvertjaune Boutiquefr Cher 1803280987 Nike Chaussures 1TJ3KculFOn a vu en mécanique des fluides (cf. Cinématique des fluides) que l’accélération d’une particule de fluide située en M à l’instant \(t\) pouvait s’obtenir à l’aide du champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\) : \[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} \] où le dernier terme désigne la partie convective de l’accélération. Explicitons la composante suivant Ox de ce terme en utilisant l’égalité \(\overrightarrow{A}\wedge(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{A}.\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B})\overrightarrow{C}\) avec \(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{B} = \overrightarrow{\nabla}v_{x}\) et \(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{u}_{x}\) : \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}v_{x}\right)\overrightarrow{u}_{x} = \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}_{x}\right)\overrightarrow{\nabla}v_{x} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = v_{x}\overrightarrow{\nabla}v_{x}-\overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}v_{x}^{2} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u_{x}}\right) \] Ainsi en procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on obtient \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x} + \overrightarrow{\nabla}v_{y}\wedge\overrightarrow{u}_{y} + \overrightarrow{\nabla}v_{z}\wedge\overrightarrow{u}_{z}\right) \] On reconnait \(v^2\) dans le gradient et l’on voit apparaître \(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\) dans le dernier terme. On aboutit alors à une nouvelle expression de l’accélération