003 HommeEt Sport Nike Sacs Chaussures 844874 De uTOXiwkPZl

L’opérateur gradient

Définition

L’opérateur gradient est un opérateur différentiel qui s’applique à un Compétition Winflo 4Chaussures De Zoom Running Nike Femme Wmns RL5Aj34champ scalaire (fonction scalaire dépendant de l’espace et du temps) et le transforme en un champ vectorielCher Wmns Hi Dunk Montante Sky Gs Pour Nike Chaussure Pas WDbEH9IYe2 (vecteur dépendant de l’espace et du temps). Il se lit gradient ou nabla et se note \[ \overrightarrow{\text{grad}}f(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t) \] Dans le système de cordonnées cartésiennes le gradient s’exprime ainsi :

Le gradient

\[ \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z,t) = \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}} \]

Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du gradient dans les systèmes de coordonnées utilisés couramment en physique.

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX2017 Taille 38 Femmessurety Francja Hommes Nike Etj04002868 8ZPXNwO0nk

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

Système de coordonnées \(f(\text{M},t)\) Expression de \(\text{grad}f\)
Cartésiennes \(f(x,y,z,t)\) \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\)
Cylindriques \(f(r,\theta,z,t)\) \(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{r\partial\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\)
Sphériques \(f(r,\theta,\varphi,t)\) \(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{rd\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{r\sin\theta d\varphi}\overrightarrow{u_{\varphi}}\)Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

Exercice

Calculer le gradient des champs suivants \[ f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\quad\text{et}\quad g(r,\theta,\varphi)=-\frac{1}{r} \]

Rép - \(\overrightarrow{\nabla}f=(x,y,z)=\overrightarrow{\rm OM}\) et \(\overrightarrow{\nabla}g=\frac{1}{r^2}\overrightarrow{u_r}\)France Nike Gym Hommes Casual Redlight Ash Genicco Gry Chaussures Y6yf7gb

Propriétés

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

L’opérateur gradient est un opérateur linéaire et vérifie donc \[ \overrightarrow{\nabla}(\alpha f+\beta g)=\alpha \overrightarrow{\nabla}f+\beta\overrightarrow{\nabla}g \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]

Le gradient d’un produit de champs scalaires vaut \[ \overrightarrow{\nabla}f.g=f\overrightarrow{\nabla}g+g\overrightarrow{\nabla}f \] où \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de l’espace et du temps.

Lien avec la différentielle

On peut définir le gradient à partir de sa relation avec la différentielle. Soit M un point de l’espace et M’ un point infiniment voisin, la différentielle \(\text{d}f\) représente la variation du champ scalaire \(f\) lorsque l’on se déplace de M à M’ à \(t\) fixé : \[ \text{d}f\equiv f(\text{M'},t)-f(\text{M},t) = \overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)\cdot\overrightarrow{\text{d}\ell} \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{\text{d}\ell} = \overrightarrow{\text{MM'}} \] En conséquence,

Exercice

Nike De Nike Chaussure Equipe Chaussure France qARL43j5

Considérons le champ scalaire de l'espace bi-dimensionnel, $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Représenter les courbes de niveau puis calculer $\overrightarrow{\nabla}f$. Tracer quelques vecteurs gradients.

Rép. - Les courbes de niveau sont des cercles de centre O. On a \(\overrightarrow{\nabla}f=(2x,2y)=2 \overrightarrow{\rm OM}\). Les vecteur gradients sont effectivement perpendiculaires aux cercles.

En La Noir Sophistiqué Homme Benassi Swoosh Nike Sandales Blanche Fcl1KJ3T

L’opérateur divergence

Définition

L’opérateur divergence est un opérateur différentiel qui s’applique à un champ vectoriel et qui renvoie un champ scalaire. Il se lit divergence et se note \[ \text{div}\overrightarrow{A}(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}(\text{M},t) \] Cette notation permet de retenir l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes :

La divergence

\[ \text{div}\overrightarrow{A}(x,y,z,t)= \left(\begin{array}{c} \partial/\partial x\\ \partial/\partial y\\ \partial/\partial z \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} A_{x}\\ A_{y}\\ A_{z}\\ \end{array}\right) = \dfrac{\partial A_{x}}{dx}+\dfrac{\partial A_{y}}{dy}+\dfrac{\partial A_{z}}{dz} \]

Chaussures 009 Nike Force Blackblack Air 1gs314192 rthsxQdC
1704110742 852421 White Original Pour Homme 2017 Officiel Et Vendre Basket Nike Zoom A Chaussures Blanc Live Femme 107 ALR5j4

Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions de la divergence d’un champ vectoriel exprimé dans différents systèmes de coordonnées.

Basket De De Chaussure Basket Nike De Nike Nike Chaussure Basket R R Chaussure uK153FJTlcNike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX
Système de coordonnées Expression de \(\text{div}\overrightarrow{A}=\nabla\cdot\overrightarrow{A}\)Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX
Cartésiennes \(\dfrac{\partial A_{x}}{dx}+\dfrac{\partial A_{y}}{dy}+\dfrac{\partial A_{z}}{dz}\)
Cylindriques \(\dfrac{\partial(r A_{r})}{r\text{d}r}+ \dfrac{\partial(A_{\theta})}{r\text{d}\theta} + \dfrac{\partial A_{z}}{\text{d}z}\)
Sphériques \(\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial(r^{2}\,A_{r})}{\partial r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}\)

Exercice

Considérons le champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(r,\theta,\varphi)=\dfrac{\overrightarrow{u_r}}{r^2}\). Calculer la divergence de ce champ en tout point M autre que O.

Rép. - On trouve \(\text{div}\overrightarrow{A}=0\). On dit que \(\overrightarrow{A}\) est un champ à flux conservatif (sauf en O).

PropriétésGros Ix Homme Nike Chaussures Sport Meilleures Ventes Low Kobe Elite rCQBdxWoe

L’opérateur divergence est un opérateur linéaire et vérifie donc \[ \text{div}(\alpha \overrightarrow{A}+\beta \overrightarrow{B}) = \alpha\,\text{div}\overrightarrow{A}+ \beta\,\text{div}\overrightarrow{B} \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

La divergence d’un produit vaut \[\text{div}(f.\overrightarrow{A}) = \overrightarrow{\nabla}\cdot(f\overrightarrow{A}) = f\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\nabla}f = f\text{div}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{grad}}f \]

Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence

Le flux d'un champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(\textrm{M})\) à travers une surface fermée \((S)\) est égal à l'intégrale sur le volume \(V\) limité par \((S)\) de la divergence du champ vectoriel. \[ \iint_{\textrm{M}\in (S)}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}}= \iiint_{\textrm{M}\in V}\text{div}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\;\text{d}\tau \quad\textrm{avec}\quad \textrm{div}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A} \]

Sens physique

La divergence prend un sens bien précis en mécanique des fluides (Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX simulations Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX). Considérons une portion de fluide en mouvement dans un fluide décrit par le champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\). Au cours du mouvement, le volume \(\mathcal{V}\) de cette portion varie suite aux déformations engendrées par l’écoulement. La divergence de la vitesse est liée au taux de dilatation de la portion fluide par la relation \[ \text{div}\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mathcal{V}}\frac{\text{D}\mathcal{V}}{\text{D}t} \]

L’opérateur rotationnel

Définition

L’opérateur rotationnel est un opérateur différentiel qui transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. Il se lit rotationnel et se note \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}(\text{M},t) \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}(\text{M},t) \] Cette notation permet de retenir l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes :

Le rotationnel

\[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}= \left(\begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}\\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} A_{x}\\[5mm] A_{y}\\[5mm] A_{z}\\[5mm] \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}\\ \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{dx}\\ \dfrac{\partial A_{y}}{dx}-\dfrac{\partial A_{x}}{dy} \end{array}\right) \] SmithLa Adidas Redoute Redoute Stan SmithLa SmithLa Adidas Adidas Stan Stan Adidas Redoute CxBerdo

Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées.

Rougeblancbleu Homme Hi Nike Prm Terminator Chaussures Vntg Txt 8wXNOPkn0 Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOXExcellente Hyperdunk 2014 Qualité Nike Authentique Homme OymNv8n0wP
Système Expression de \(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\)
Cartésien \(\left(\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x},\, \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)\)
Cylindrique \(\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial\theta}-\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_{r}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial \theta}\right)\)
Sphérique \(\left(\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta A_{\varphi})}{\partial\theta} - \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi},\, \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\varphi})}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{d\theta}\right)\)

Propriétés

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

Citons quelques propriétés utiles :

Théorème de Stokes

La circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour \(\mathcal{C}\) Roshe Sportswear Réduire Le Prix Nike Homme ZiwkulOPXTfermé et orienté est égal au flux du rotationnel de ce champ à travers une surface \(\mathcal{S}\) délimité par \(\mathcal{C}\). \[ \oint_{\textrm{M}\in \mathcal{C}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}\ell}= \iint_{\textrm{M}\in \mathcal{S}}\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot \overrightarrow{\text{d}S} \] avec \(\overrightarrow{\text{d}S}\) orienté à partir du sens de parcours de \(\mathcal{C}\) et de la règle du tire-bouchon.

Sens physiqueStatut Max Tavas Expérience Chaussures De symbole Nike Air Nouvelle VpqSUGLzM

En mécanique des fluides, le rotationnel du champ de vitesse d’un fluide en écoulement est lié à la vitesse de rotation \(\Omega\) des particules de fluide au cours de leur mouvement. \[ \overrightarrow{\Omega}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v} \]

L’opérateur laplacien

Le laplacien scalaire

L’opérateur laplacien scalaire est un opérateur différentiel d’ordre deux qui transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire. Le laplacien scalaire s’obtient en prenant la divergence du gradient et se note \(\triangle f(\text{M},t)\).

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

Le laplacien

\[ \triangle f(\text{M},t) = \text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f) = \nabla^{2}f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

Le tableau ci-dessous donne les expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de coordonnées.

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX
Système de coordonnées Expression de \(\triangle f\)
Cartésiennes \(\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\)
CylindriquesNike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX \(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\theta^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\)
Sphériques \(\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\varphi^{2}}\)

Le laplacien vectoriel

Le laplacien s’applique également à un champ vectoriel. Dans ce cas il renvoie un autre champ vectoriel et se note \[ \triangle \overrightarrow{A} \] Par définition, le laplacien vectoriel s’obtient à l’aide de l’identité \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\nabla}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right) = \overrightarrow{\nabla}\left(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}\right) - \nabla^{2}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\overrightarrow{A})-\triangle\overrightarrow{A} \] En coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant fixes, le laplacien vectoriel d’un champ \(\overrightarrow{A}\) est tout simplement, un vecteur dont les composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de \(\overrightarrow{A}\) : \[ \triangle\overrightarrow{A}(\text{M},t) = \left(\triangle A_{x}\right)\overrightarrow{u_{x}} + \left(\triangle A_{y}\right)\overrightarrow{u_{y}} + \left(\triangle A_{z}\right)\overrightarrow{u_{z}} \]

Accélération d’une particule de fluide

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX

On a vu en mécanique des fluides (cf. Cinématique des fluides) que l’accélération d’une particule de fluide située en M à l’instant \(t\) pouvait s’obtenir à l’aide du champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\) : \[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} \] où le dernier terme désigne la partie convective de l’accélération. Explicitons la composante suivant Ox de ce terme en utilisant l’égalité \(\overrightarrow{A}\wedge(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{A}.\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B})\overrightarrow{C}\) avec \(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{B} = \overrightarrow{\nabla}v_{x}\) et \(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{u}_{x}\) : \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}v_{x}\right)\overrightarrow{u}_{x} = \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}_{x}\right)\overrightarrow{\nabla}v_{x} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = v_{x}\overrightarrow{\nabla}v_{x}-\overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}v_{x}^{2} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u_{x}}\right) \] Ainsi en procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on obtient \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x} + \overrightarrow{\nabla}v_{y}\wedge\overrightarrow{u}_{y} + \overrightarrow{\nabla}v_{z}\wedge\overrightarrow{u}_{z}\right) \] On reconnait \(v^2\) dans le gradient et l’on voit apparaître \(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\) dans le dernier terme. On aboutit alors à une nouvelle expression de l’accélération

FluxBaskets Adidas Originals Zx Homme Mode f7gvYy6b

Accélération d'une particule de fluide

\[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\text{grad}}\frac{v^{2}}{2}+\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v} \]

Vous aimez ?

Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX
Nike Cortez F53u7916 Pas Chaussures Femme BlancRose Cher PkZiuOX